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本文来自微信公众号:原理 (ID:principia1687),作者:佐佑,头图来自:pixabay


库默尔的困惑  


1846年,德国数学家恩斯特·库默尔(Ernst Kummer)首次注意到了一个与数字有关的疑惑,并随之提出了一个猜想。自那之后,寻找这个猜想的证明便成了许多数学家的目标。


到了20世纪50年代,普林斯顿高等研究院(IAS)的一组研究人员用计算机对这个问题进行了研究,发现库默尔所认为的这一数论的奇特特征其实是错的。但之后,一些数学家又发现了能够表明这一猜想实际上是正确的的迹象。


在经过一番曲折之后,现在,来自加州理工学院的两位数学家Alexander  Dunn和Maksym Radziwill终于为这个谜题画上了完美的句号,他们找到了证据证明——库默尔一直是对的。2021年9月,他们将证明发表在了预印网站arXiv上。


二次和三次高斯和  


这个数学谜题与高斯和(Gauss sum)有关。高斯和是由18世纪著名数学家卡尔·弗里德里希·高斯发展出的一个复杂概念,它能够很容易地映射方程解的分布。


这种求和涉及到模运算。理解模运算的一个简单方法就是类比我们生活中常见的钟表:表盘被分成12份,每份代表一个小时,当中午或午夜到来时,数字就会重置并返回到1。


模运算是数学中的一种剥离信息,使复杂到不可思议的方程变得更简单的有效方法。这个“模12”系统简化了计时过程,使我们不需要无休止地一直计数每一个小时。


在计算二次高斯和时,高斯也用到了与钟表计时非常类似的模运算。他研究的是非平凡素数(用p表示,指除以3后余数为1的素数)的二次高斯和的分布,这些素数p以e2iπn^2/p的形式相加。


二次高斯和。


到了19世纪中期,库默尔开始感兴趣于一个与二次高斯和很类似的公式,将e2iπn^2/p的指数中的n²替换成了n³。那时,他只能依靠笔和纸对这些和进行计算,计算难度非常大。而且为了能将答案一个一个地绘制在一条数轴上,他还必须先将数值答案正规化,使它们都落在-1到1之间。


三次高斯和。


他艰难地计算了前45个非平凡素数的三次高斯和。在绘制出数值分布后,他观察到了出乎意料的结果:理论上,经过正规化的三次高斯和可以是-1到1之间的任何值,但他却发现这些结果的分布并不是均匀随机的,而是更多的趋向于聚集在数轴的正向端,也就是1附近——约有一半在1/2到1之间,1/6在-1到-1/2之间。


也就是说,库默尔观察到了一种偏倚。于是,他提出猜想:如果能绘制出无穷多个三次高斯和的分布,会发现它们大多位于1/2到1之间,−1/2到1/2之间较少,−1到−1/2之间更少。


库默尔错了? 


时间来到上世纪50年代,由数学家阿特勒·塞尔伯格(Atle Selberg)与约翰·冯·诺伊曼(John von Neumann)等人开始用早期计算机计算所有小于10,000的非平凡素数的三次高斯和,这一计算大约包含了1500多万次的乘法运算。当他们将这大约600个数值结果标记在数轴上时,惊奇地发现,之前库默尔看见的偏倚消失不见了。

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他们注意到,随着素数变得越来越大,正规化的高斯和会越来越倾向于不聚集在1附近,而是呈随机分布。他们认为,库默尔的猜想或许错了


1978年,剑桥大学的数学家塞缪尔·帕特森(Samuel Patterson)试图更深入地理解三次高斯和。他对这一问题的研究始于思考将这些数字随机放在-1和1之间的情况:如果将N个这样的随机数字相加,那么总和的标准大小将为√N(它可以是正的或负的)。同样,如果三次高斯和均匀地分布在−1到1之间,那么就可以预期N个高斯和的总和大约为√N。


带着这个想法,帕特森把N个三次高斯和加起来,并暂时忽略了都是素数的要求。他发现总和会落在N5/6左右,N5/6比√N大,但比N小。这个值告诉了帕特森一些重要的信息:在更早的时候,有数学家已经证明,一组真正随机的结果之和大约为√N,如果总和约为N5/6,则意味着这些和基本上是随机的,但存在一个细微的额外因素会使它们略微更向正值偏倚


如果情况果真如此,那么就解释了为什么库默尔的结果看起来并非随机,以及为什么随机性会随着素数的增加而越趋明显:这是一个渐进问题,当N较小时,这个额外的因素足以以明显的方式影响结果,显现出偏倚;但随着N越来越大,分布中的随机性就会开始盖过偏倚,所以能够看到的就只有随机性。


帕特森认为,如果能观察到无限个三次高斯和的样子,就会发现它们是均匀分布的。可惜的是,帕特森无法用素数进行这样的计算。1978年,他正式将它写成了一个猜想:如果把素数的三次高斯和相加,能得到相同的总和落在N5/6左右的情况。


证明帕特森猜想  


帕特森自己无法证明这个猜想,直到去年,Dunn和Radziwill才终于弄明白究竟为什么会这样。


两年前,Dunn和Radziwill决定一起破解帕特森猜想问题。他们的解决方案是基于牛津大学的罗杰·希思-布朗(Roger Heath-Brown)的工作。希斯-布朗曾和帕特森合作研究过这个问题,当时,两人的合作在这个问题上取得了一些进展,但仍然不能真正证明帕特森预测的N5/6偏倚情况对素数来说也成立。


然后在2000年,希斯-布朗取得了一项突破,他发展了一种名为三次大筛法的工具,这个工具在帮助证明帕特森猜想方面发挥了重大作用。他证明了如果将小于N的素数的三次高斯和相加,结果不会比N5/6大很多。可以说,希斯-布朗离胜利已经非常接近,但仍没有达成完整的证明。


希斯-布朗认为通过改进大筛法本身,还能进一步改改善结果,从而证明帕特森的猜想。通过简短的文字,他勾勒出了他认为的最好公式。但在这之后,数学家们鲜少取得进展。


直到近年来,Dunn和Radziwill发现,当他们使用希斯-布朗在2000年写下的三次大筛法的公式时,意识到这似乎存在一些不对的地方,大筛法并不能很好地运作。于是,他们重新校准了研究帕特森猜想的方法。


2021年9月15日,他们发布了他们的论文。他们的证明似乎是成功的,除了还有最后一个小问题:在他们的证明中,有一个部分依赖于尚未被证明的广义黎曼猜想,这也使得他们的证明是有条件的。


被指出“犯了错”的希斯-布朗在了解了这篇新的论文后并没有沮丧,而是认为Dunn和Radziwill出人意料地洞悉了三次大筛法中的问题,帮助数学家们摆脱了大筛法的误导,为这一问题带来惊喜的结局。



参考来源:

https://www.caltech.edu/about/news/caltech-mathematicians-solve-19th-century-number-riddle

https://www.quantamagazine.org/a-numerical-mystery-from-the-19th-century-finally-gets-solved-20220815/

https://www.iflscience.com/after-175-years-two-false-conjectures-and-the-birth-of-computing-this-theorem-finally-has-a-proof-65065

https://arxiv.org/pdf/2109.07463.pdf


本文来自微信公众号:原理 (ID:principia1687),作者:佐佑

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